perbandingan segemn-segemn garis pada pentagram

 ini adalah proyekku dari dulu. Alhamdulillah sekarang udah kelar. aku akan menceritakannya secara singkat sekarang.

dulu aku memebaca novel da vinci code. di sana diceritakan tentang pentakel atau yang sering disebut pentagram, yaitu bintang segilima. dikatakan pentagram atau pentakel merupakan lambang suci dan ajaib karena mengandung proporsi golden ration. golden ratio itu seperti berikut:

sekarang kita akan membuktikannya. caranya dengan gambar berikut:

A. mencari perbandingan segmen pentagram

<COD = 72°

<CAD = 72°/ 2 = 36°

kita perhatikan ΔAFG.

<FAG= 36°

<AFG = <FGA = 72°

AF/ sin G = FG/ sin A

AF/ sin 72° = FG/ sin  36°

AF/ FG =  sin 72°/ sin 36° = 2 sin 36° cos 36°/ sin 36° = 2 cos 36°

AF = BF = GE

sekarang kita mencari nilai cos 36°

B. mencari cos 36°
sin 36° = sin 144°
= 2 sin 72°. cos 72°
= 2.2 sin 36°. cos 72°
1 = 4 cos 36°. cos 72°
1/4 = cos 36°(2.cos² 36° – 1)
1/4 = 2.cos³ 36° – cos 36°
2.cos³ 36° – cos 36° – 1/4 = 0
cos³ 36° – 1/2. cos 36° – 1/8 = 0
dimisalkan cos 36° = x
x³ – 1/2. x – 1/8 = 0
setelah melalui beberapa percobaan dengan cara faktorisasi diketahui salah satu faktornya adalah -1/2.
(x³ – 1/2. x – 1/8)/(x + 1/2) = x² – 1/2. x -1/4

x₁ = (1+ √5)/4
x₂ = (1- √5)/4
maka solusi persamaan kubiknya menjadi:
x₁ = -1/2
x₂ = (1+ √5)/4
x₃ = (1- √5)/4

di antara semua kemungkinan di atas pilihan kedua satu-satunya yang benar karena hanya dia yang positif sedangkan yang lainnya negatif. oleh karena itu ditemukan nilai cos 36° = (1+ √5)/4

setelah ditemukan cos 36° maka perbandingan AF/FG = 2 cos 36° = 2 . (1+ √5)/4 = (1+ √5)/2 = phi = golden ratio.

dengan cara ini akhirnya terbukti bahwa garis-garis pada pentagram terbagi-bagi dalam bagian-bagian yang perbandingan panjang antar garisnya adalah golden ratio.

sebagai bonus aku akan menunjukkan cara mencari sin 18°. ini dia:

mencari sin 18°

cos 18° = sin 72°
= 2.sin 36°.cos 36°
= 2.2. sin 18°.cos 18°.cos 36°
1/4 = sin 18° .cos 36°
= sin 18°(1 – 2.sin² 18°)
= sin 18° – 2.sin³ 18°
2.sin³ 18° – sin 18° + 1/4 = 0
sin³ 18° – 1/2. sin 18° + 1/8 = 0
kita misalkan sin 18° = x, maka persamaan di atas menjadi persamaan kubik:
x³ – 1/2. x + 1/8 = 0
persamaan di atas dapat dipecahkan dengan cara faktorisasi. diketahui salah satu faktornya adalah 1/2
maka:
(x³ – 1/2. x + 1/8 = 0)/(x – 1/2) = x² + 1/2. x -1/4
akarpersamaan kuadrat di atas
x₁ = (√5 – 1)/4
x₂ = -(√5 + 1)/4
maka solusi persamaan kubiknya menjadi:
x₁ = 1/2
x₂ = (√5 – 1)/4
x₃ = -(√5 + 1)/4

solusi yang mungkin untuk sin 18° adalah (&radic
;5 – 1)/4 karena 1/2 adalah sin 30° dan nilai x₃ negatif. nilai sin sudut kuadran satu semua positif. tidak bisa negatif. jadi sin 18° = (√5 – 1)/4.

setelah aku tahu phi di dalam pentagram, aku tidak lagi memandang pentagram sebagai lambang setan, tapi sebagai keajaiban matematika dan alam, bahwa keteraturan di alam ternyata dapat digambarkan dalam lambang matematika yang mengandung ketelitian dan keindahan. pengetahuan dan seni berpadu di sana.